前言
从17世纪伽利略使用望远镜观察月球表面至今400年来的光学技术几乎都是探讨球面镜 。20世纪初NC加工机的问世使得回转对称非球面镜（一般是指非球面，本文中非旋转对称面通称为回转对称）可藉由研磨技术获得。即使最近的塑料、玻璃等成型Lens也大多集中在回转对称非球面镜。回转对称非球面镜赋与光学上极大的自由度，对于收差补正发挥强大power，尤其是镜片小型化与片数的削减更是产生巨大的效果。

头罩显示器（HMD，Head Mounted Display）的原理是将小型2维显示器所产生的影像藉由光学系统放大。具体而言，小型显示器所发射的光线经过凸状Lens使影像因折射产生类似远方效果（图1）。利用此效果将近处物体放大至远处观赏而达到所谓的全像视觉（Hologram） 。

如图2所示，HMD内的小型液晶显示器（LCD，Liquid Crystal Display）的影像通过一个偏心自由曲面Lens，使影像变成类似大银幕画面。由于偏心自由曲面Lens为一倾斜状凹面Lens，因此在光学上它已不单是Lens功能，基本上已成为自由面棱镜（prism）。当LCD产生的影像穿透A面进入偏心自由曲面棱镜（prism）C面，再全反射至观视者眼睛对向侧凹面镜B面。B面设有一层mirror coating，反射同时光线再次被放大反射至C面 ，并在C面补正光线倾斜，达到观视者眼睛。
偏心自由曲面棱镜（Prism）
自由曲面Lens应用于HMD是建立在以下几项机制：
?自由曲面（prism）
?偏心
?自由曲面

棱镜
光学面的power是由面曲率决定 ，曲率愈大（曲率半径愈小）该面的power则愈强，利用此特性可得到较大的折射力，然而相对的收差也随之变大。折射面的power Φ可由媒质的折射率n，曲率半径R，依下式求得（图3）。
Φ=（n-1）/R （1）
由于折射面的光路中可并排设置数个组件，因此可利用复数面作收差补正。要注意的是，该光学面的光轴必须是直线状。由于此类光学是由反射面所构成，因此即使很小的面曲率亦可获得同等power。
　Φ=2/R （2）
表面反射镜常用于类似望远镜之系统，由于它不会发生色收差，因此一般的口径都很大。
若是由背面镜（图3）构成反射面则变成：
　Φ=2n/R （3）
例如折射率为1.5时与上述穿透面式（1）比较，1/6的曲率即可获得同等power。典型背面反射镜是1876年A.Mangin所发明的Mangin镜，该镜除了具有良好的球面收差补正之外（不易发生球面收差），其色差亦只有发生在正面穿透面。由于这些因素使得内面镜可以充份发挥无色差的优点，尤其是对于容易发生色收差的长焦距望远镜Lens可说是一大帮助。
不过若将上述Lens应用于成像或近眼Lens，且像面或物面都是在内面镜前方时便会妨碍光线行进。这种情况下必需设置一片副镜片使光线折返，同时还需将内面镜做成开口状（图4） 。然而即使这种结构对于大画角的光学而言仍无法有效解决如何取出光线之根本问题。

偏心
回转对称光轴光学中若发生偏心便会产生单边光晕，不论如何调整Lens光轴都无法得到有效改善，对光学而言偏心乃是最大忌讳。然而对内面镜光学而言，它反而是处理光路折返不得不采用的技巧，主要原因是一旦发生偏心，相对的偏心收差会变大，如此一来会使的问题更加棘手。

偏心收差
如上所述结偏心方式乃是取出光线最佳手段，但是偏心却有造成收差变大的副作用。偏心所产生的偏心收差现象可分为下列四大项（图5）：1. 非点格差。2. coma收差。3. 像歪 。4. 像面倾斜。
?因偏心之非点格差：在回转对称光学的轴上常发生轴对称球面收差。在偏心光学的轴上亦经常发生非点格差。严重时虽然会在同一方向成像，在另一端的远焦系（afocal）也会出现同样的问题因此设计上需格外留意。
?因偏心之coma收差：在回转对称光学的轴外常发生的coma收差，在偏心光学轴上亦会出现。
?因偏心之像歪：偏心会造成相当明显的梯形 、弓形像歪。
?因偏心之像面倾斜：像面弯曲乃是反射面具有正power所造成，对光线行进方向而言则变成凹面弯曲状，因此光线会随着凹面弯曲倾斜严重时成为圆柱状，此时光学面若有偏心便会发生严重的收差 。
由于上述各种限制使的以往的回转对称轴光学的光轴慨念不再适用于非回转对称轴光学（图6）。若凹面镜的光学凹面有偏离、倾斜时 ，凹面镜的反射光会严重倾斜，使的成像位置偏离原来的像面无法作收差评估。设若从物体中心发出并通过瞳孔中心的光线为轴上主光线 ，并且以此光线的邻近光为成像时的偏心评估面时，偏心光学上近轴像位置便无法成为评估基准。换言之，正确方法应该是先决定评估面 ，并令该面的中心上各面的轴上主光线形成曲折交叉状，如此才能作收差评估。

偏心的优点
偏心最大优点是可使光学结构变的非常简洁、小型（图7）。传统光学若要进行微型化，除了缩短系统长度或口径外没有其它方法。然而对于回转对称光学而言它的光轴成为一条直线，若改为偏心光学便可大幅压缩体积。由于轴上光的长度与光学系统大小不再互动 ，因此理论上可轻易达成微型化。例如设计3片Triplet Lens，传统的回转对称光学除了将3片Lens长度缩小之外没有其它方法可使光学系统微型化。不过若是偏心光学便可将光路折迭（fold），相当于3片Lens的各面皆可作相当程度的分离设计且各面互不干涉，同时更可因这种结构大幅削弱各面的power。偏心棱镜乃是刻意使光学面偏离光轴（简称离轴），倾斜结构可使光路在无任何衰减情况下折迭（fold），此外各面相互保持一定间隔，因此各光学面的power可大幅降低。

自由曲面
棱镜所构成的内面镜光学可取出偏心时的光路，形成低收差之光学系统。不过若是偏心过大造成大偏心收差时，便无法构成回转对称面之偏心光学，此时需设法改变面的形状作成所谓的自由曲面，藉由自由曲面补正偏心收差 。虽然是自由曲面但实际上任意形状是无法追迹（tracking）光线，此外自由曲面是以NC加工机制作，因此polygonmesh点矩阵date计算相当费时，虽然它对spline很有利但根本上需根据光学收差设计时的方便性为为原则，最简易的数学模式采用级数展开XY方式：
（4）
展开至4次项时
　Z=C00
　　+C10+C11Y
　　+C20X2+C21XY+C22X2
　　+C30X3+C31X2Y+C32XY2+C33Y3
　　+C40X4+C41X3Y+C42X2Y2+C43Y3+C44Y4 （5）
式中若赋与C31、C36项时便形成图8之形状。利用此面形状便可补正诸如梯形歪斜等现象。主要原因是自由曲面的面各部位都可设定为完全不同的power，因此它可补正非对称收差。

图9是利用图8的形状作为反射面，Y轴正方向之X轴向的power变成正，Y轴负方向则变为负，如此一来梯形像歪斜上端的投影倍率变大并把上端朝拉伸方向补正，底部的投影倍率变小把底部朝收缩方向补正，最后完成梯形像歪斜补正。

HMD之应用
偏心自由曲面棱镜应用于近眼光学系统时 ，主要是利用内面镜的各面收差发生量只有传统穿透镜的1/6之特征，因此可获得大射出瞳径效果。一般近眼光学系统的射出瞳径若有4mm便可观视影像。由于双眼式HMD的眼幅因人而异，因此需借助眼幅调整机构补正，如此一来会造成本体重量不易轻型化。有鉴于此小型轻量HMD的光学系统射出瞳径若有12x4mm大小（图10）便可充份满足眼幅55～71mm的漂移容许范围，且不需任何眼幅调整机构补正。如此的安排乃是有鉴于内面反射镜的各面收差极小，即使瞳径变大收差亦不致极端恶化。
图11为偏心自由曲面HMD近眼光学用棱镜剖面图。LCD产生的光线射入倾斜于光轴之自由曲面第1面，光线先在第3面全反射，之后在倾斜自由曲面之凹面镜第2面反射，再度通过第3面进入观视者眼睛 。第1、2面为自由曲面可作偏心收差补正，其中第2面是光路中最具power，第3面则为穿透与反射面，因此反射面有效直径与穿透面有效直径两者的堆栈对光学小型化具有重大贡献。
如上所述棱镜与偏心的各面构成小型堆栈状光学系统是偏心光学最大优势。除此之外偏心棱镜（图12）具有相当于回转对称穿透镜片3～4片份的收差补正能力，因此可应用在成像光学系统。

自由曲面之设计
设计上若能把握下列几项原则，基本上它与传统的回转对称光学完全相同。

面对称
若只考虑Y-Z面内的偏心则Y轴的正负方向为大偏心。有关X-Z轴的正负方向则为同样形状。换言之Y-Z面必需是对称面的面对称。该对称面若是Y-Z平面，则X轴方向便不需非对称，因此自由曲面系数的X不用奇数次项 ，式（5）改为如下项次：
Z=C20X2+C22Y2+C31X2Y+C33Y3 +C40X4+C42X2Y2+C44Y4 （6）
假设只有Y-Z面内是偏心则对称面为Y-Z面 ，如此一来作业上会比较方便。

近轴量
一般而言，由物体中心射出并通过中心与像面交叉之光线会有一条存在。在回转对称光学时此光线变成光轴。然而偏心光学的光线是曲折前进 ，因此上述光线不易变成光轴。为了作业上方便统称此光线为轴上主光线（图13）。
有关各面的定义坐标与轴上主光线的关系，由于轴上主光线并不限定非要通过各面定义坐标的中心不可，因此即使求出定义坐标原点附近的曲率 ，依此定义坐标所求得之近轴量实际上毫无意义。此外目前的光学设计软件不易作有关近轴计算。换言之，即使将焦距、倍率Fno、像侧NA/Fno等计算近轴所需之数据输入计算机亦无法完成设计。主要原因是设计前必需先获得入射瞳径或物体侧之NA等基础数据。同样道理若无法求出焦距便无法计算像高，如果焦距无法成为直接补正对象就必需以像高作为补正对象进行收差补正。

收差补正
如上所述由于无法求得近轴量，因此依式（7）以像高作为补正对象再配合焦距计算。
h=f?tanθ （7）
h：像高
f：焦距
θ：画角
由于X、Y方向各具自由度，因此需以各别像高作为补正对象。这有点类似X、Y方向两状态之设计。此外Y轴亦具正负自由度，Y像高的正负都需成为补正对象，因此先需输入如图14所示之画角；开口值则是输入入射瞳径数据。

面的Lay out
假设HMD为3面结构之偏心光路。
第1面：首先决定观视者入射瞳的位置，以此面为起始原点再决定各面位置。此处会以入射瞳面作为起始原点定义各面的偏心量，主要考量是若以积分定义偏心量 ，一旦移动其中任一面便会连带牵动其它面，如此一来要使光线通过更加不易。
接着决定第2、3面，并使第4面与第2面同位置。之后输入成为第5面之像面之第6面。一旦决定各面后接着需调整各面倾角使轴上光可顺利通过。此时为了使轴上主光线能触及各面定义坐标的起始原点 ，必需让面的位置偏心（图15）。
由于第4面与第2面都是以第4面为反射面，因此只需配合第4面的原点即可 。其理由是第4面为反射面对光线而言第4面的power比第2面大；此外，配合轴上光线的理由是当轴上光线通过面的定义轴附近时，对于面的低项次及自动补正比较有利 ，而且万一不幸产生崩溃时它会变得不易自动补正。图16为面配置鸟瞰。

2次项补正
完成上述作业之后接下来赋与面power初期值。2次项C20与C22在回转对称系相当于R曲率（图17）。
由于X、Y方向各别独立，因此补正时需各别设定像高限制条件，此时先赋与第3面C20与C22适当的2次系数，使它能在像面附近成像，之后再根据X-Z，Y-Z断面之光路以人工方式输入适当值 。如此像面附近成像之光学设计于焉诞生。接着作自动补正，首先输入可使第3～6面轴上主光线(A)（图14）的Y轴坐标通过面的定义坐标原点的限制条件，再输入两画角(B)与(F)的像高限制条件补正相当于近轴量的焦距，其结果如图18所示 。图19是2次像补正鸟瞰图。
3次项补正
接着作3次项补正 。图20的C31与C33即将做非对称成份补正。如上所述C31为梯形歪斜（distortion） ，C33对于Y轴上下差异极大的歪斜补正具有相当效果。利用各系数之面补正以及利用其形状补正收差两者彼此具有关连，作为变量项及作为补正对象的收差在适当时机补正乃是重要的过程。最后画角(C)、(E)、(F)亦加入变成补正对象补正。
4次项补正
之后作4次项补正。图21的C40、C42 、C44相当于X方向高次歪斜，这种情况下(A)至(K)的画角都是补正对象。完成后的自由曲面棱镜如图22所示。图23是鸟瞰图。
须注意的是补正时各面不得有干涉，全反射面不可在临界角以下等限制条件的考量亦相当重要 ，特别是X-Z断面的面干涉。整体而言设计者能否充份掌握3维面的配置结构乃是全像HMD成功的基本要因。
偏心光学的收差
如上所述设计偏心自由曲面棱镜时如何减少偏心量乃是最重要的课题。换言之对自由曲面而言降低低偏心量就能减少收差发生量。然而实际设计却需考虑如何将光线由光路中取，或是如何将光线射入棱镜，因此偏心反而变成必要的手段，在此相互矛盾的前提下偏心量较少的面赋与power，反之则尽量回避变成偏心自由曲面光学设计的基本原则。
OSR
HMD主要诉求是将小型LCD的影像透过自由曲面棱镜变成大银幕般的视觉效果。如众所知视觉影像的分辨率与色彩度取决于LCD的画素（pixel）与灰阶（grey level），然而目前小型高画素、高灰阶LCD的单价极端昂贵，有鉴于此，日本Olympus公司利用OSR（Optical Super Resolution）组件使18万画素的LCD产生相当于72万画素，水平分辨率500条以上的画质效果。
OSR是由偏光控制组件（液晶cell）与复折射板所构成。藉由OSR组件将LCD的黑色矩阵（black matrix）上由画素（pixel）所产生的光线移位（shift）。虽然理论上它是一种可使光学画质提高4倍之技术（图24），但实际上单纯的使光线移位（shift）所产生的4画素（pixel）技术却会造成影像模糊效应。有键于此OSR将对应各移位（shift）的影像信号从原始影像信号中取样（sampling），再显示于HMD的自由曲面棱镜，也就是说各移位的画素都能够正确显示在该当位置，实质画素提高4倍的同时又不会有影像模糊的问题。
OSR组件置于LCD与自由曲面棱镜之间（图25）。OSR是由2片偏光控制组件（液晶cell）与3片复折射板所构成（图26）。
当电压ON/OFF施加于2片偏光控制组件（液晶cell）时光线移位（shift）成4道。OSR的控制是将原影像信号配合移位画素的位置取样（sampling），之后以1/120秒的速度驱动LCD，再同步配合画素移位置显示（display）影像利用OSR组件依序使各别画素的光线以4/120秒（=1/30秒：video信号的frame单位）（图27）的速度为一周期（cycle）。之后一边监控LCD的real time一边倍速驱动LCD，同时与LCD驱动状况连动控制OSR组件。虽然LCD移位光量（距离）取决于OSR组件的复折射板的厚度，但是由于LCD画素大小只有10μm，画素间的黑色矩阵大小为14μm，因此复折射板的厚度必须具备micron order的加工精度，配合高折射结晶材料才能完成厚度为2.9mm的OSR组件。
结语
随着DVD播放机的普及化，可预期的未来类似HMD可将小型LCD显示组件的影像透过光学系统作成全像大银幕的需求将日益增加。换言之举凡自由曲面棱镜的设计乃至加工量产技术将因此更趋完备。除光学技术之外，奈米级（nano）超精密机械加工技术亦将成为本世纪初的热门课题。